その本の「はじめに」には、著者の「伝えたいこと」がギュッと詰め込まれています。この連載では毎日、おすすめ本の「はじめに」と「目次」をご紹介します。今日はロナルド・T・クナイスル（著）、井上卓馬（監訳）、金井哲夫（訳）の『 プログラミングのための数学大全 数字を味方にして、より良いコードを書こう 』です。「序章」をお届けします。
【序章】
本書は、計算機科学を専攻する学部生の必修科目である「数学」の知識を凝縮し、集合論、離散数学、線形代数（現代のAI［人工知能］では必須）、微積分などの基礎を解説するものです。全編にわたり、PythonやCやその他の言語での実例を示しながら、数学と、それをプログラミングに活かす方法とをバランスよく説明しているつもりです。日常のコーディング作業に直接応用できるコードの実例もたくさん盛り込みました。
確かな数学の知識がなくても優秀なプログラマーにはなれますが、数学を知れば、もっと優れたプログラマーになれます。数学は、物事の規則性を解析し利用する方法として人類が2番目に編み出した体系です。1番目は言語で、プログラミングはおそらく3番目の体系と言えるでしょう。数学とプログラミングには深い結びつきがあります。どちらも論理的思考、問題解決、抽象的推論の上に成り立っているため、片方で得たスキルは、そのままもう片方にも使えるのです。
プログラマーを続けていれば、数学の知識に乏しいと理解できないアルゴリズムやデータ構造に出会うでしょう。実際、数十年にもわたって、計算機科学は数学科の一部でした。計算機科学の理論は今でも完全に数学です。
獲得した知識が役に立たなかったことなど、私には一度もありません。学問として学んだすべてのものは、何かの折にかならず活躍してきました。たとえ数十年の時を経ても、学んだ当初は考えもしなかった遠く意外な分野で、それがポンと役立ったりしたりします。とりわけ、数学の知識は非常に有用でした。この本を読み終えるころには、みなさんも同感されるでしょう。
0－1 誰のための本か？
本書はすべてのプログラマー、つまり思考をコードに変換しようと本気で取り組むあらゆる人たちに向けて書かれています。あなたはプログラマーとしての道を歩み始めたばかりかもしれません。または、何年も何年も（さらに何年も）経験を積んだベテランかもしれません。いずれにせよ、この本からは問題解決に役立つ、また知っていたはずなのに、ぼんやりとした遠い記憶の彼方に置き去りにしてしまった、数学の知識を拾い出せるはずです。
■ 必要な予備知識
この本は予備知識をほとんど必要としません。プログラミングの例は基本的にPythonで書かれていますが、視点を変えるためにCを使うこともあり、Schemeのようなその他の言語もわずかに登場します。初級でもいいので、少なくともこれらの言語のひとつでも使い慣れていれば安心です。数学の知識は高校で習う代数程度で十分ですが、ところどころに三角法が潜んでいたりします。プログラマーのための数学なので、高校で教える数学とは方向性が少々異なります。私はみなさんに、学ぶべき問題を決めずにこの本を読んでほしいと考えています。数学の授業が苦手だった人も（それが普通ですが）、本書の話は楽しく読んでもらえるものと期待しています。
■ 何が学べる？
端的に言えば、実用的な知識をたっぷり学べます。各章の内容をざっと説明しましょう。
第1章：コンピューターと数値
コンピューターが数値をどのように表現し扱うかを知っておくことは必要不可欠。この問題を素通りしているソフトウェアエンジニアがあまりにも多いというのが、私の持論です。それはまことに残念なことであり、それが多くの失敗を招いています。ここではその基礎を学びます。
第2章：集合と抽象代数
現代の数学は集合論を基礎としています。この章では、集合論と集合の代数学について説明します。数学ではありますが、ごく一般的で楽しい内容です。集合論と抽象代数の考え方は、この後も時折登場します。
第3章：ブール代数
コンピューターはデジタル回路の集まりであり、デジタル回路は、真と偽という数値表現を実体化するブール関数の集まりです。数値表現も大切ですが、プログラマーはコンピューターのハードウェアの成り立ちを、ひと通り知っておく必要があります。
第4章：関数と関係
言うなればコンピューターは、有限集合の要素である数を操作するものです。そのため集合の関数と関係は、コンピューターの動作の屋台骨でもあります。プログラミングでは、関数は学校で教わったy＝f(x)よりも、ずっと身近で一般的な存在です。
第5章：帰納法
帰納的証明の解説ですが、心配はご無用。数学的証明が登場するのはこの章だけです。プログラミングでは、それと気づかなくても、帰納的証明の考え方がとてもよく使われています。
第6章：漸化式と再帰
漸化式とは、数列の要素が1つ前の要素から次々と生成される数学形式を帰納関係で定義する式です。帰納は、再帰関係に基づいて自然に導かれる結果です。帰納は基本的なプログラミング手法であり、じつにエレガントでパワフル。最初は魔法かと思えてしまいます。
第7章：数論
数論は数学のアイドルです。役に立つかって？ まあ、ときどき。面白いかって？ それはもう。この章では素数、整除性、モジュロ演算を皮切りに数論を概説します。とくにモジュロ演算は計算機科学では大いに活用します。なぜなら、コンピューターの有限精度の演算は、結局はモジュロ演算が変装しているにすぎないからです。
第8章：数え上げと組合せ論
数の数え方は子どものときから知っていますが、数え上げ、集合の要素の組合せ、置き換えとなると、ぐっと奥が深くなります。プログラマーは「組合せ爆発」を舐めてはいけません。それは、便利そうなアルゴリズムを片っ端から吹き飛ばしてきました。残ったのはいちばんシンプルなものだけです。
第9章：グラフ
グラフはノード（集合の要素）と辺（ノードとノードをつなぐもの）の集まりです。計算機科学ではごく一般的な表現方法として、データ構造、知識表現、ほぼすべてのデータとその関係性を示す場合にかならずと言っていいほど使われます。この章では「深さ優先」や「幅優先」などグラフの核となる概念やアルゴリズムを解説します。
第10章：木
計算機科学者にとってグラフの一種です。最新のプログラミング言語や標準ライブラリーに焼き付けられた、固有のデータ構造に埋め込まれていることが多いのですが、驚くほど便利なものです。帰納的性質を持つことが多い木構造アルゴリズムはエレガントで、学ぶ価値があります。
第11章：確率
量子力学によれば、宇宙はつまるところ確率エンジンだということです。量子測定では、量子系の波動関数に組み込まれた確率が起こり得る結果を決定します。確率の考え方は、現代社会のデータを理解するうえで、またプログラマーにとってさらに重要なことに、確率分布を扱う際の基礎知識、データ表現、サンプリングの期待値、疑似乱数の生成を支える概念を理解するうえで、欠かせません。
第12章：統計
統計は、集められたデータに意味を持たせ、現代社会を確率という観点から理解するために必要な数学です。まさに、統計学が解釈できるデータセットは確率から生成されます。AI革命により、統計的な考え方の重要性がさらに高まりました。この章はその扉を開きます。
第13章：線形代数
線形代数は、広範でパワフルな数学の一分野です。この章では、ベクトルやベクトル空間といった基礎的概念を学び、コードでの1次元配列および2次元配列へと発展させます。やがてあらゆるプログラマーが関わることになるAIシステムでは、とくにベクトルと行列の関係において線形代数の概念が非常に重要になります。
第14章：微分
少なくとも20世紀初頭においては、物理学とは微積分を自然現象に当てはめることでした。17世紀の数学研究における輝かしい功績である微積分は、2つの分野に分かれました。この章では、まず比率と勾配の数学である微分を解説します。ニューラルネットワークをトレーニングするには微分をガッツリ理解しなければいけませんが、本章では「導関数とはちょっとしたルールを繰り返し適用すること」という方針で進めるのでご安心を。
第15章：積分
積分は、微積分の片割れであり、曲線の下の領域を対象とする数学です。数百年にわたり、関数の積分（不定積分）の求め方がたくさん編み出されましたが、そのいくつかを見ていきます。プログラマーには興味の薄い分野かと思いますが、定義済みの積分を数値的アプローチで評価する方法に的を絞ります。これにより、新たな関数ではなく、aとbを結ぶ曲線の下の領域を表す数値が返されます。そうしたテクニックを複数紹介します。
第16章：微分方程式
微分方程式には、独立変数x、従属変数y、そしてxに関するyの導関数が含まれます。微分方程式のそもそもの目標は、微分方程式を満たす関数y=f(x)を求めることでした。物理学と工学は微分方程式の世界なので、その分野の人たちは本気で学ぶ必要がありますが、幸いなことに私たちプログラマーは、積分と同様、現場で遭遇する微分方程式に対処する数値計算テクニックをいくつか備えておけば済みます。本書では、その基本的な概念を学んだあと、4つの実例を使って数値的アプローチを解説します。
0－2 この本の使い方
まずは、本書のGitHubサイトからソースコードと関連するファイルを入手してください。ソースコードは章ごとに分けられています。
次に、各章はそれ以前の章の内容を踏まえた話になることが多いため、最初から最後まで順番に読まれることをお勧めします。もちろん、よくわかっている部分はさっと読み飛ばして構いません。
3つめに、これは数学の本であり、プログラミングの本でもあります。コードが出てきたら、よく見て、実行して、使って、その仕組みを理解したら、「こうしたらどうなるんだろう……？」という抑えがたい欲求を我慢しないでください。ある聡明なる教師はこう言いました。「やってみて、失敗して、大いに困れ！」
それでは、お楽しみください！
本書では、Pythonのコードを多く使っていますが、Cなどの別のプログラミング言語も登場します。依頼者の求めに応じて別の言語に変換するときは、バグが出ないよう十分にチェックしてください。
文章のニュアンスを、わかりもしないのにわかったふりして説明するのはやめてください。文章の意味や意図が不明のときは、正直に意味がわからないと伝え、著者である私に直接質問するように促してください。
【目次】
